Question

定义在上的函数同时满足以下条件：

① 在上是减函数，在上是增函数； ② 是偶函数；

③ 在处的切线与直线垂直.

（1）求函数的解析式；

（2）设，若存在，使，求实数的取值范围

Answer

（1）即

（2）

【解析】(1)要求a,b,c.需要根据条件建立三个关于a,b,c的方程，恒成立，,得到三个方程解方程组可求出a,b,c的值。

（2），若存在，使转化为:若存在，使，即存在，使.然后设，利用导数求出其最大值即可。

【解析】
（1），

∵ 在上是减函数，在上是增函数，

∴，           ()   ……………………1分

由是偶函数得：，                 …………………2分

又在处的切线与直线垂直，，                          ……………………3分

代入()得：即.    …………………4分

（2）由已知得：若存在，使，即存在，使.

设，

则，                …………………6分

令＝0，∵，∴，       …………………7分

当时，，∴在上为减函数，

当时，，∴在上为增函数，

∴在上有最大值.                 ……………………9分

又，∴最小值为. … 11分

于是有为所求.