Question

已知数列的前项和为，，且（为正整数）

（Ⅰ）求出数列的通项公式；

（Ⅱ）若对任意正整数，恒成立，求实数的最大值

Answer

（1）（为正整数）.

（2）实数的最大值为1.

【解析】(I)再构造一个当时，然后与作差,可得到,从而可知是等比数列,问题得解.

（II）此题的关键是求Sn的最小值，要先根据前n项和公式求出Sn,然后从函数的角度研究其单调性确定其最值即可.

（1）， ①  当时，.   ② 

    由 ① - ②，得.     .            

    又 ，，解得 .       

     数列是首项为1，公比为的等比数列.

    （为正整数）.            ……………………6分

（2）由（Ⅰ）知  

    由题意可知，对于任意的正整数，恒有，

 数列单调递增， 当时，该数列中的最小项为，  

     必有，即实数的最大值为1.