Question

已知函数

（Ⅰ）若函数在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围；

（Ⅱ）令是否存在实数a，当（e是自然常数）时，函数 的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由；

（Ⅲ）当时，证明：

Answer

（1）   （2）存在实数，使得当时，g(x)有最小值3.  （3）略

【解析】(I) 函数在[1，2]上是减函数转化为在[1，2]上恒成立,即在[1，2]上恒成立，再利用二次函数的性质，问题得解.

(II)利用导数研究其极值最值，在具体求解的过程中，要对a进行讨论.

(III) 构造函数,结合第（II）问可知,令,只需要满足即可.再利用导数研究的最大值.问题得解.

【解析】
（Ⅰ）在[1，2]上恒成立，

令，有 得                …………3分

所以.                                                  …………4分

（Ⅱ）假设存在实数a，使有最小值3，

.                                         …………5分

①当时，g(x)在[0，e]上单调递减，

（舍去）.

（2）当时，g(x)在上单调递减，在上单调递增，

所以，满足条件.

（3）当时，g(x)在[0，e]上单调递减，（舍去）.

综上，存在实数，使得当时，g(x)有最小值3.        …………10分

(Ⅲ)令，由（2）知

，令，，

当时，，在上单调递增，

所以.

所以,即.