Question

如图，平面ABDE⊥平面ABC，ACBC，AC=BC=4，四边形ABDE是直角梯形，BDAE，BDBA，AE=2BD=4，O、M分别为CE、AB的中点.

（Ⅰ）证明：OD//平面ABC；

（Ⅱ）能否在EM上找一点N，使得ON⊥平面ABDE？若能，请指出点N的位置，并加以证明；若不能，请说明理由.

Answer

见解析.

【解析】本试题主要考查了立体几何中的运用。

【解析】
（I）证明：取AC中点F，连结OF、FB.

∵F是AC的中点，O为CE的中点，

∴OF∥EA且OF=， 又BD∥AE且BD=，

∴OF∥DB，OF=DB，

∴四边形BDOF是平行四边形。

∴OD∥FB                        …………4分

又∵FB平面ABC，OD平面ABC，∴OD∥面ABC。               …………6分

（II）当N是EM中点时，ON⊥平面ABDE。           ………7分

证明：取EM中点N，连结ON、CM， AC=BC，M为AB中点，∴CM⊥AB，

又∵面ABDE⊥面ABC，面ABDE面ABC=AB，CM面ABC，

∴CM⊥面ABDE，  ∵N是EM中点，O为CE中点，∴ON∥CM，

∴ON⊥平面ABDE。                                           …………12分