Question

已知椭圆的离心率为，直线l：y=x+2与以原点为圆心、椭圆C₁的短半轴长为半径的圆O相切。

（Ⅰ）求椭圆C₁的方程；

（Ⅱ）设椭圆C₁的左焦点为F₁，右焦点为F₂，直线l₁过点F₁，且垂直于椭圆的长轴，动直线l₂垂直于l₁，垂足为点P，线段PF₂的垂直平分线交l₂于点M，求点M的轨迹C₂的方程；

（Ⅲ）设C₂与x轴交于点Q，不同的两点R、S在C₂上，且 满足，求的取值范围。

Answer

（1）；（2）；（2）.

【解析】

 【解析】
（1）由                                   （2分）

    由直线

所以椭圆的方程是                                          （4分）

（2）由条件，知|MF2|=|MP|。即动点M到定点F2的距离等于它到直线的距离，由抛物线的定义得点M的轨迹C2的方程是。                （8分）

（3）由（2），知Q（0，0）。设

所以当故的取值范围是。