Question

设函数

（Ⅰ）当时，求的最大值；

（Ⅱ）令，（），其图象上任意一点处切线的斜率≤恒成立，求实数的取值范围；

（Ⅲ）当，，方程有唯一实数解，求正数的值．

Answer

（1）极大值为，此即为最大值；（2）≥；（3）.

【解析】本题考查导数在研究函数性质、研究不等式和方程问题中的综合运用，试题的难度不大，但考查点极为全面。本题的难点是第三问中方程解的研究，当函数具有极值点时，在这个极值点左右两侧，函数的单调性是不同的，这样就可以根据极值的大小，结合函数图象的变化趋势确定方程解的个数，如本题中函数在定义域内有唯一的极值点，而且是极小值点，也就是最小值点，如果这个最小值小于零，函数就出现两个零点，方程就有两个不同的实数解，只有当这个最小值等于零时，方程才有一个实数解，而最小值等于零的这个极小值点满足在此点处的导数等于零，函数值也等于零，即我们的【解析】中的方程组，由这个方程组求解使用了构造函数通过函数的性质得到的方法也是值得仔细体会的技巧。（1）函数的定义域是，把代入函数解析式，求其导数，根据求解目标，这个导数在函数定义域内只有一个等于零的点，判断这唯一的极值点是极大值点即可；（2）即函数的导数在小于或者等于恒成立，分类参数后转化为函数的最值；（3）研究函数是单调性得到函数的极值点，根据函数图象的变化趋势，判断何时方程有唯一实数解，得到所满足的方程，解方程求解。

【解析】
（1）依题意，知的定义域为（0，+∞），当时，，

（2′）令=0，解得．（∵）

因为有唯一解，所以，当时，

，此时单调递增；当时，，此时单调递减。

所以的极大值为，此即为最大值………4分

（2），，则有≤，在上恒成立，

所以≥，（8′）当时，取得最大值，

所以≥………8分

（3）因为方程有唯一实数解，所以有唯一实数解，

设，则．令，．因为，，所以（舍去），，

当时，，在（0，）上单调递减，当时，，在（，+∞）单调递增当时，=0，取最小值．（12′）

则既

所以，因为，所以（*）

设函数，因为当时，是增函数，所以至多有一解．

因为，所以方程（*）的解为，即，解得．…12分