Question

已知函数.

（Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线垂直，求函数的单调区间；

（Ⅱ）若对于都有成立，试求的取值范围；

（Ⅲ）记.当时，函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围.

Answer

（I）的单调增区间是,单调减区间是．  

（II）的范围是

（III）的取值范围是． 

【解析】本题考查导数的几何意义；切点处的导数为切线斜率；用导数求单调区间：导数大于0对应区间为单调递增区间；导数小于0对应区间为单调递减区间；用导数求最值及恒成立问题．

（I） 直线的斜率为1.函数的定义域为，，所以，所以．所以．.由解得；由解得.

所以的单调增区间是,单调减区间是．  ……………………4分

（II） ，由解得；由解得.

所以在区间上单调递增，在区间上单调递减所以当时，函数取得最小值，.因为对于都有成立，所以即可.则．由解得．  所以的范围是.8分

（III）依题得，则.由解得；由解得所以函数在区间为减函数，在区间为增函数．又因为函数在区间上有两个零点，所以

解得.所以的取值范围是．