已知数列
的前
项和为
，且
(
N*),其中
．
(Ⅰ) 求的通项公式；
(Ⅱ) 设
(
N*).
①证明： 
；
② 求证：
.
【解析】本试题主要考查了数列的通项公式的求解和运用。运用
关系式，表示通项公式，然后得到第一问，第二问中利用放缩法得到
，②由于
，
所以
利用放缩法，从此得到结论。
【解析】
(Ⅰ)当
时，由
得
. ……2分
若存在
由
得
，
从而有
，与矛盾，所以
.
从而由得
得
. ……6分
(Ⅱ)①证明：
证法一：∵
∴
∴
∴
.…………10分
证法二：
，下同证法一.
……10分
证法三：（利用对偶式）设
，
，
则
.又
，也即
，所以
，也即
，又因为
，所以
.即
………10分
证法四：（数学归纳法）①当
时, 
,命题成立;
②假设
时,命题成立,即
,
则当
时,
即
即
故当时，命题成立.
综上可知，对一切非零自然数，不等式②成立. ………………10分
②由于，
所以，
从而
.
也即
已知各项都不为零的数列
的前n项和为
，
，向量
，其中
N*，且
∥
．
（Ⅰ）求数列的通项公式及；
（Ⅱ）若数列
的前n项和为
，且
（其中
是首项
，第四项为
的等比数列的公比），求证：
．
【解析】本试题主要考查了数列的通项公式和前n项和公式的运用。
（1）因为
，对n=1, 
分别求解通项公式，然后合并。利用
，求解
（2）利用
裂项后求和得到结论。
【解析】
(1) ……1分
当时，
……2分
（）……5分
……7分
……9分
证明：当
时，
当时，
汕头二中拟建一座长
米，宽
米的长方形体育馆．按照建筑要求，每隔
米（
，
为正常数）需打建一个桩位，每个桩位需花费
万元（桩位视为一点且打在长方形的边上），桩位之间的米墙面需花
万元，在不计地板和天花板的情况下，当为何值时，所需总费用最少？
【解析】本试题主要考查了导数在研究函数中的运用。先求需打
个桩位．再求解墙面所需费用为：
，最后表示总费用
，利用导数判定单调性，求解最值。
【解析】
由题意可知，需打个桩位．
…………………2分
墙面所需费用为：，……4分
∴所需总费用
（
）…7分
令
，则
当
时，
；当
时，
．
∴当
时，
取极小值为
．而在
内极值点唯一，所以
．∴当时，
（万元），即每隔3米打建一个桩位时，所需总费用最小为1170万元．
已知点
（
）,过点
作抛物线
的切线，切点分别为
、
（其中
）．
（Ⅰ）若
，求
与
的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若以点为圆心的圆
与直线
相切，求圆的方程；
（Ⅲ）若直线的方程是
，且以点为圆心的圆与直线相切，
求圆面积的最小值．
【解析】本试题主要考查了抛物线的的方程以及性质的运用。直线与圆的位置关系的运用。
中∵直线
与曲线
相切，且过点
，∴
，利用求根公式得到结论先求直线
的方程，再利用点P到直线的距离为半径，从而得到圆的方程。
（3）∵直线的方程是，，且以点为圆心的圆与直线相切∴点到直线的距离即为圆的半径，即
，借助于函数的性质圆面积的最小值
（Ⅰ）由
可得，
． ------1分
∵直线与曲线相切，且过点，∴，即
，
∴
，或
， --------------------3分
同理可得：
，或
----------------4分
∵，∴
，． -----------------5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
,
，则的斜率
，
∴直线的方程为：
，又
，
∴
，即
． -----------------7分
∵点到直线的距离即为圆的半径，即
，--------------8分
故圆的面积为
． --------------------9分
（Ⅲ）∵直线的方程是，，且以点为圆心的圆与直线相切∴点到直线的距离即为圆的半径，即， ………10分
∴
，
当且仅当
，即
，
时取等号．
故圆面积的最小值．
如图所示的长方体
中，底面
是边长为
的正方形，
为
与
的交点，
，
是线段
的中点．
（Ⅰ）求证：
平面
；
（Ⅱ）求证：
平面
；
（Ⅲ）求二面角
的大小．
【解析】本试题主要考查了线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理，以及二面角的求解的运用。中利用
，又
平面，
平面，∴平面由
，
，又
，∴平面．
可得证明
（3）因为∴
为面
的法向量．∵
，
，
∴
为平面的法向量．∴利用法向量的夹角公式，
，
∴
与
的夹角为
，即二面角的大小为．
方法一：解:（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系．连接
，则点
、
，
∴，又点
，
，∴
∴
，且
与
不共线，∴．
又平面，平面，∴平面．…………………4分
（Ⅱ）∵
，
∴，，即，，
又，∴平面． ………8分
（Ⅲ）∵
，
，∴
平面，
∴为面的法向量．∵，，
∴为平面的法向量．∴，
∴与的夹角为，即二面角的大小为
某校从参加高三年级理科综合物理考试的学生中随机抽出
名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段
，
…
后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：
（Ⅰ）求分数在
内的频率，并补全这个频率分布直方图；
（Ⅱ）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的
平均分；
（Ⅲ）若从名学生中随机抽取
人，抽到的学生成绩在
记
分，在
记
分，
在
记分，用
表示抽取结束后的总记分，求的分布列和数学期望.
【解析】（1）中利用直方图中面积和为1，可以求解得到分数在内的频率为
（2）中结合平均值可以得到平均分为：
（3）中用表示抽取结束后的总记分x, 学生成绩在的有
人，在的有
人，在的有
人,结合古典概型的概率公式求解得到。
(Ⅰ)设分数在内的频率为
，根据频率分布直方图，则有
，可得，所以频率分布直方图如右图.……4分
（求解频率3分，画图1分）
（Ⅱ）平均分为：……7分
（Ⅲ）学生成绩在的有人，在的有人，
在的有人.并且的可能取值是
. ………8分
则
；
；
；
；
.（每个1分）
所以的分布列为
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
…………………13分
