Question

如图 5，已知正方形ABCD在水平面上的正投影（投影线垂直于投影面）是四边形，其中A与A '重合，且BB'＜DD'＜CC'．

（1）证明AD'//平面BB'C'C，并指出四边形AB'C'D’的形状；

（2）如果四边形中AB'C'D’中，，正方形的边长为 ，

求平面ABCD与平面AB'C'D’所成的锐二面角的余弦值．

 

Answer

见解析.

【解析】第一问是涉及到线面平行的判定，以及四边形的形状问题的证明。

第二问关于二面角的求解，可以利用射影面积公式法，也可以利用法向量的夹角公式来解，通过合理的建立直角坐标系，表示向量，然后求解斜率的夹角，利用互为补角的关系求解得到二面角的大小。

【解析】
（2）依题意，在Rt△ABB’中，，

在Rt△ADD’中，，

所以．………………8分

连结AC，AC’，如图5－2，在Rt△ACC’中，．

所以，故．……10分

（法1）延长CB，C’B’相交于点F，

则，所以．

连结AF，则AF是平面ABCD与平面AB’C’D

的交线．

在平面AB’C’D

内作C’G，垂足为G，

连结．

因为平面AB’C’D，平面AB’C’D，所以AF．

从而平面CC’G，．

所以是平面ABCD与平面AB’C’D所成的一个锐二面角．  …………12分

在Rt△AC’F中，，

在Rt△CC’G中，．

所以，

即平面ABCD与平面AB'C'D’所成的锐二面角的余弦值为．………14分

（法2）以c’为原点，c’a为x轴，c’b’为y轴，c’c为z轴，

建立空间直角坐标系（如图5－3），

则平面AB’C’D的一个法向量．

设平面ABCD的一个法向量为，

因为

取z=1，则y=，x=，所以平面ABCD的一个法向量为．

（注：法向量不唯一，可以是与共线的任一非零向量）……………12分

．

所以平面ABCD与平面AB’C’D所成的锐二面角的余弦值为． …………………14分

（法3）由题意，正方形ABCD在水平面上的正投影是四边形AB’C’D，

所以平面ABCD与平面AB’C’D，所成的锐二面角的余弦值．  …………12分

所以，

所以平面ABCD与平面AB’C’D所成的锐二面角的余弦值为． …………………14分