Question

如图所示，圆柱底面的直径长度为，为底面圆心，正三角形的一个顶点在上底面的圆周上，为圆柱的母线，的延长线交于点， 的中点为.

（1）   求证：平面⊥平面；

（2）   求二面角的正切值.

Answer

（1）见解析；（2）.

【解析】本试题主要考查了面面储值的判定和二面角的求解的综合运用。

【解析】
（1）证明： 正三角形ABP中，F为BP的中点， ∴AF⊥PB      …………1分

∵PC为圆柱的母线， ∴PC⊥平面ABC，

而AC在平面ABC内  ∴PC⊥AC  ………………………………2分

∵AB为的直径，∴ACB=90°即 AC⊥BC  ………………………………3分

PCBC=C，∴AC⊥平面PBC，  ………………………………………………4分

而PB在平面PBC内, ∴AC⊥PB             ……………………………………5分

ACAF=A，∴PB⊥平面ACF，…………………………………………………6分

而PB在平面ABP内，∴平面ABP⊥平面ACF……………………………………7分

（2）   由（1）知AC⊥BC，PC⊥AC，同理PC⊥BC，

而PA=PB=PC=，可证RTABC≌RTPBC，

∴AC=BC=PC=2……8分

以C为原点，CA,CB,CP所在直线为X,Y,Z轴建立空间直角坐标系

则  ……………………………9分

∵PC⊥平面ABC，∴为平面CEB的一个法向量………………10分

设平面CEF的一个法向量，

则  即  ，令y=-1则       ……………………11分

设二面角F-CE-B的平面角为，

∴……………………………………………12分

∴， ……………………………………………………………………13分

所以二面角F-CE-B的正切值为 ………………………………………14分