Question

已知函数，，图象与轴异于原点的交点M处的切线为，与轴的交点N处的切线为， 并且与平行.

（1）求的值；  

（2）已知实数t∈R，求函数的最小值；

（3）令，给定，对于两个大于1的正数，

存在实数满足：，，并且使得不等式

恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）2；（2）；（3）（0,1）.

【解析】本试题主要考查了导数在研究函数中的运用，利用导数来求解函数的最值和不等式的恒成立问题的运用。

解: 图象与x轴异于原点的交点M(A,0)，

图象与x轴的交点N(2,0)，

由题意可得，即a=1，        ………………………………………………2分

∴，          …………………………………………3分

（2）

令，在 时，，

∴在单调递增，             …………………………5分

图象的对称轴，抛物线开口向上

①当即时，     …………………………………6分

②当即时，

  ……………………7分

③当即时，

        …………………8分

(3) ,

所以在区间上单调递增      …………………………………………9分

∴时，

①当时，有，

，

得，同理， ………………………１０分

∴ 由f(x)的单调性知    、

与题设不符 ……………………………………12分

③当时，同理可得，

与题设不符.           ………………………13分

∴综合①、②、③得              ……………………………………14分