Question

如图5(1)中矩形中，已知，, 分别为和的中点，对角线与交于点，沿把矩形折起，使平面与平面所成角为，如图5(2).

（1）   求证：；

（2）   求与平面所成角的正弦值.

Answer

（1）见解析；（2）.

【解析】本试题主要是考查了立体几何中的线线垂直的判定和线面所成角的正弦值的运用。

【解析】
（1）由题设，M，N是矩形的边AD和BC的中点，所以AMMN, BCMN, 折叠垂直关系不变，所以∠AMD 是平面ABMN与平面MNCD的平面角，依题意，所以∠AMD=60o，……２分

由AM=DM，可知△MAD是正三角形，所以AD=，在矩形ABCD中，AB=2,AD=,所以，BD=，由题可知BO=OD=，由勾股定理可知三角形BOD是直角三角形，所以BO⊥DO

…………5分

解（２）设E，F是BD，CD的中点，则EFCD, OFCD, 所以，CD面OEF, OECD

又BO=OD，所以OEBD,  OE面ABCD, OE面BOD, 平面BOD⊥平面ABCD

过A作AH⊥BD，由面面垂直的性质定理,可得AH⊥平面BOD，连结OH ，…………… 8分

所以OH是AO在平面BOD的投影，所以∠AOH为所求的角,即AO与平面BOD所成角。11分

AH是RT△ABD斜边上的高，所以AH=，BO=OD=，

所以sin∠AOH=（14分）

方法二：空间向量：取MD，NC中点P，Q，如图建系，  

Q（0，0，0），B（，0，0），D（0，，2），O（0，，1

所以（，，1），（0，，

所以0，即BO⊥DO（5分）

（2）设平面BOD的法向量是，可得xy+z=0

y-z=0，令可得所以

又（，，-1），

设AO与平面BOD所成角为,jsin=|cos<>|==（14分）