Question

在直角坐标系中，动点与定点的距离和它到定直线的距离之比是，设动点的轨迹为，是动圆上一点.

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）设曲线上的三点与点的距离成等差数列，若线段的垂直平分线与轴的交点为，求直线的斜率；

（3）若直线与和动圆均只有一个公共点，求、两点的距离的最大值.

Answer

（1）；（2）；（3）.

【解析】本试题主要考查了轨迹方程的求解和椭圆的定义，以及直线与椭圆的位置关系的综合运用。

【解析】
（1）由已知，得，…………………………1分.

将两边平方，并化简得，      …………………………3分.

故轨迹C1的方程是。               ………………4分.

（2）由已知可得，，，

因为2|BF|=|AF|=|CF|，所以

即得，   ①                           …………………………5分.

故线段AC的中点为，其垂直平分线方程为， ②

    …………………………6分.

因为A,C在椭圆上，故有，，两式相减，

得：    ③

将①代入③，化简得，    ④ ………………………7分.

将④代入②，并令y=0得，x=1/2，即T的坐标为(1/2,0)。………………………8分.

所以.                             ………………………9分.

设、，直线的方程为

因为P既在椭圆C1上又在直线上，从而有

将（1）代入（2）得         ………10分.

由于直线PQ与椭圆C1相切，故

从而可得，             （3）

同理，由Q既在圆上又在直线上，可得

，                  （4）……………………12分

由（3）、（4）得，

所以 ……………………13分.

即，当且仅当时取等号，

故P,Q、两点的距离的最大值. …………………………14分.