Question

已知椭圆的右焦点为，点在圆上任意一点（点第一象限内），过点作圆的切线交椭圆于两点、．

（1）证明：；

（2）若椭圆离心率为，求线段长度的最大值．

Answer

（1）略（2） 2

【解析】(1) 设，先利用焦半径公式表示,然后再想法求出|PQ|，也用x1表示出来.相加即可.

(2)根据离心率可求出a值，进而椭圆方程确定，然后设直线的方程为,由直线QR与圆O相切，进而得到,

然后直线与椭圆方程联立，消y之后，表示出,

则,，,因而确定当且仅当时，取最大值2.

（1）设，得，…………………3分

由是圆的切线，，

注意到，，……………6分

所以．                            ……………7分

（2）由题意，，．      …………………………9分

方法一：设直线的方程为，点在第一象限，．

由直线与圆相切，．   …………………………11分

由，消得，

设，则．

由（1）知，，…14分

，．

当且仅当时，取最大值2，此时直线的方程为，过焦点．

方法二：设，则直线的方程为．  ……11分

由，消得，

则，，，

由（1）知，，……14分

，，

当且仅当时，取最大值2，此时，直线过焦点． 

方法三：由（1）同理可求，则，………11分

，

当且仅当直线过焦点时等号成立，从而．