Question

已知函数（）．

（1）若，在上是单调增函数，求的取值范围；

（2）若，求方程在上解的个数．

Answer

（1）．     

（2）当a≥3时，≥0，∴g(x)＝0在上有惟一解．

当时，<0，∴g(x)＝0在上无解．

【解析】（1）然后分别研究时,恒成立且时,恒成立时b的取值范围即可.

(2) 构造函数，即

分别研究和上的单调性,极值和最值.做出草图，数形结合解决即可

（1）  …………………2分

①当时， ，．

由条件，得恒成立，即恒成立，∴．   ……………………4分

②当时，，．

由条件，得恒成立，即恒成立，∴b≥－2． 

综合①，②得b的取值范围是．               ……………6分

（2）令，即………………8分

当时，，．

∵，∴．则．

即，∴在（0，）上是递增函数．………………………10分

当时，，．

∴在（，＋∞）上是递增函数．

又因为函数在有意义，∴在（0，＋∞）上是递增函数．………12分

∵，而，∴，则．∵a≥2，

∴ ，  ……14分

当a≥3时，≥0，∴g(x)＝0在上有惟一解．

当时，<0，∴g(x)＝0在上无解