Question

已知数列单调递增，且各项非负，对于正整数，若任意的，（≤≤≤），仍是中的项，则称数列为“项可减数列”．

（1）已知数列是首项为2，公比为2的等比数列，且数列是“项可减数

列”，试确定的最大值；

（2）求证：若数列是“项可减数列”，则其前项的和；

（3）已知是各项非负的递增数列，写出（2）的逆命题，判断该逆命题的真假，

并说明理由．

Answer

（1）2 （2）．     （3）（2）的逆命题为：已知数列为各项非负的递增数列，若其前项的和满足，则该数列一定是“项可减数列”，该逆命题为真命题．

【解析】(1)根据题意可知，

易得，即数列一定是“2项可减数列”.

（2）因为数列是“项可减数列”，

所以必定是数列中的项.

而是递增数列，故，

所以必有，，

是解决本小题的关键.

(3) 的逆命题为：

已知数列为各项非负的递增数列，若其前项的和满足，

则该数列一定是“项可减数列”，该逆命题为真命题．

证明要注意利用≤≤,求出的通项公式.

（1）设，则，

易得，即数列一定是“2项可减数列”，

但因为，所以的最大值为2． ………………5分

（2）因为数列是“项可减数列”，

所以必定是数列中的项，  ………………………7分

而是递增数列，故，

所以必有，，

则

，

所以，即．

又由定义知，数列也是“项可减数列”，

所以．       ……………………………10分

（3）（2）的逆命题为：

已知数列为各项非负的递增数列，若其前项的和满足，

则该数列一定是“项可减数列”，该逆命题为真命题．……………………12分

理由如下：因为≤≤，所以当≥时，，

两式相减，得，即 （）

则当时，有（）

由（）－（），得，

又，所以，故数列是首项为0的递增等差数列．

设公差为，则，

对于任意的≤≤≤，，

因为≤，所以仍是中的项，

故数列是“项可减数列”．