Question

设函数，函数（其中，e是自然对数的底数）．

（Ⅰ）当时，求函数的极值；

（Ⅱ）若在上恒成立，求实数a的取值范围；

（Ⅲ）设，求证：（其中e是自然对数的底数）．

Answer

（1）；（2）；（3）见解析.

【解析】（1）由函数，函数先求出，研究其单调性得函数的极值；（2）在上恒成立等价于在上恒成立，先讨论与 与把分式化为整式，构造函数两次求导数讨论求得a的取值范围是。（3）利用（2）的结论，当时，，令，求和得，化为指数式右半部分得证；在根据（1）得，即 。两边取自然对数整理得，求和，化为指数式左半部分得证。

【解析】
（Ⅰ），函数，，当时，；当时，，故该函数在上单调递增，在上单调递减．∴函数在处取得极大值．     4分

（Ⅱ）由题在上恒成立，∵，，∴，

若，则，若，则恒成立，则．

不等式恒成立等价于在上恒成立，········· 6分

令，则，

又令，则，∵，．

①当时，，则在上单调递减，∴，

∴在上单减，∴，即在上恒成立；······· 7分

②当时，．

ⅰ）若，即时，，则在上单调递减，∴，∴在上单调递减，∴，此时在上恒成立；························ 8分

ⅱ）若，即时，若时，，则在上单调递增，∴，∴在上也单调递增，

∴，即，不满足条件．········································· 9分

综上，不等式在上恒成立时，实数a的取值范围是．······· 10分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，则，

当时，，令，则，

∴，∴，∴，········ 12分

又由（Ⅰ）得，即，当x＞0时，，∴，

，

综上得，即．   14分