Question

已知二次函数的图像的顶点为原点，且过，反比例函数的图像与直线y=x的两个交点间距离为8，已知

(1)求函数的表达式；

(2)试证明：当时，关于x的方程有三个实数解。

Answer

（1）

（2）有三个实数根。

【解析】（1）利用二次函数及反比例函数知识即可求解函数表达式；（2）把方程根的问题转化为函数的交点问题

（1）（5分）由已知，设，再由，得

设，则它的图像与直线y=x的交点分别为，

由得,k=8,,

（2）（7分）由得，

设在同一坐标系内作出及

的大郅图像如图所示，显然的图像在第三象限有一个交点，即有一个负实根。又当 时，即 当 时，在第一象限 的图像上存在点  在 图像的上方  的图像在第一象限有两个交点 有两正根，所以 有三个实数根。