Question

如图，，分别为的边，上的点，且不与的顶点重合。已知的长为，，的长是关于的方程x²-14x+mn=0的两个根。

 （Ⅰ）证明：，，，四点共圆；

（Ⅱ）若，且，求，，，所在圆的半径。

Answer

(1)略   （2）5 

【解析】（I）利用四点共圆的判定定理探求成立条件即可证明；（Ⅱ）利用圆的知识确定圆心，然后求出半径即可。

（I）连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中， AD×AB=mn=AE×AC,   即.又∠DAE=∠CAB,从而△ADE∽△ACB   因此∠ADE=∠ACB  ， 所以C,B,D,E四点共圆。

（Ⅱ）m=4, n=6时，方程x2-14x+mn=0的两根为x1=2,x2=12.故  AD=2，AB=12.取CE的中点G,DB的中点F，分别过G,F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH.因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH.由于∠A=900，故GH∥AB, HF∥AC. HF=AG=5，DF= (12-2)=5.故C,B,D,E四点所在圆的半径为5