Question

如图，矩形中，，．，分别在线段和上，∥，将矩形沿折起．记折起后的矩形为，且平面平面．

（Ⅰ）求证：∥平面；

（Ⅱ）若，求证：；

（Ⅲ）求四面体体积的最大值．

Answer

（1）见解析；（2）见解析；（3）2.

【解析】（1）根据折前折后四边形，都是矩形，证得四边形是平行四边形，所以∥，由线面平行的判定定理证得结论.（2）要证，须证

平面， 关键是证，，根据平面平面和易证；（3）由（1）可得平面，又设，则.易求出四面体的体积最大时，.

【解析】
（Ⅰ）证明：因为四边形，都是矩形，

      所以 ∥∥，．

      所以 四边形是平行四边形，……………2分

      所以 ∥，             ………………3分

      因为 平面，

所以 ∥平面．        ………………4分

（Ⅱ）证明：连接，设．

因为平面平面，且，    

所以 平面，                                      ………………5分

所以 ．                                             ………………6分               

又 ， 所以四边形为正方形，所以 ．   ………………7分                                       

所以 平面，                                        ………………8分                            

所以 ．                                             ………………9分                                     

（Ⅲ）【解析】
设，则，其中．

由（Ⅰ）得平面，

所以四面体的体积为．    ………………11分

所以 ．                             ………………13分

当且仅当，即时，四面体的体积最大，