Question

已知椭圆的离心率为，其左、右焦点分别为，点是椭圆上一点，且，(为坐标原点).

(Ⅰ)求椭圆的方程；

 (Ⅱ)过点且斜率为的动直线交椭圆于两点，在轴上是否存在定点，使以为直径的圆恒过这个点?若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由.

Answer

（1）（2）见解析.

【解析】（1）由，又，.根据直角三角形的性质得，从而得.（2）写出动直线的方程为：与椭圆的方程为：  联立消去，由韦达定理求出设定点M（0，m），根据恒成立.求得m=1.

【解析】
（Ⅰ）因为，所以.   ………………2分

∵，∴⊥，∴；

又∵，∴，

∴.b=1. 因此所求椭圆的方程为：     ………4分

 (Ⅱ)动直线的方程为：

由得

设

则 …………………………………8分

假设在y轴上存在定点M（0，m），满足题设，则

          ………………………………12分

由假设得对于任意的恒成立，

即 解得m=1.

因此，在y轴上存在定点M，使得以AB为直径的圆恒过这个点，

点M的坐标为（0，1）.………………………………………………………14分，.