Question

已知在数列{a_n}中，（t>0且t≠1）．是函数的一个极值点．

（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；

（2）记，当t=2时，数列的前n项和为S_n，求使S_n>2012的n的最小值；

（3）当t=2时，是否存在指数函数g（x），使得对于任意的正整数n有成立？若存在，求出满足条件的一个g（x）；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）；（2）1005；（3）见解析.

【解析】（1）先求出，因为可以整理得，又且，求得数列 是首项为，公比为t的等比数列，利用累加法求出；（2）由（1）和t=2，，得，分组求和得解，得n的最小值为1005．（3）先对变形找到满足条件的指数函数，再裂项求和证明函数满足条件..

【解析】
（1）．

由题意，即．         …………1分

∴

∵且，∴数列是以为首项，t为公比的等比数列，

                                                                                                                …………2分

以上各式两边分别相加得，∴，

当时，上式也成立，∴                                                         …………5分

   （2）当t=2时，

                                                         …………7分

由，得，

，                                                                                   …………8分

当，

因此n的最小值为1005．                                                                         …………10分

   （3）∵

令，则有：

则

                                                                                                                …………13分

即函数满足条件．，.