Question

若圆过点且与直线相切，设圆心的轨迹为曲线，、为曲线上的两点，点，且满足.

（1）求曲线的方程；

（2）若，直线的斜率为，过、两点的圆与抛物线在点处有共同的切线，求圆的方程；

（3）分别过、作曲线的切线，两条切线交于点，若点恰好在直线上，求证：与均为定值.

Answer

（1）；（2）；（3）0.

【解析】本试题主要考查了直线与圆的位置关系，以及直线与抛物线的位置关系的综合运用。

（1）依题意,点C到定点M的距离等于到定直线L的距离，所以点C的轨迹为抛物线，曲线E的方程为；   

（2）直线AB的方程是,即x-2y+12=0，

由联立x-2y+12=0和，得点A、B、、的坐标是（6,9）或（-4,4），

当A（6,9）或B（-4,4），时，由得,，

 所以抛物线在点A处切线的斜率为，

直线NA的方程为，即x+3y-33=0…………①

线段AB的中点坐标为(1,13/2)，中垂线方程为，…………②

由①、②解得，

于是，圆C的方程为

，

当B（6,9）或A（-4,4），时，抛物线在点A处切线的斜率为，此时切线与AB垂直，所求圆为以AB为直径的圆，可求得圆为， 

（3）设，,Q(a,-1)，过点A的切线方程为，

即，同理可得，所以,，

又，所以直线的方程为，

亦即,所以t=1，

而,，所以