Question

已知定点A(－1，0)，F(2，0)，定直线l：x＝，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍.设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC分别交l于点M、N

（Ⅰ）求E的方程；

（Ⅱ）试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由.

Answer

（1）=1(y≠0)；（2）过F点.

【解析】本试题主要考查了双曲线方程的求解，以及直线与圆的位置关系的运用。

1)设P(x,y)，则

化简得=1(y≠0)

(2)①当直线BC与x轴不垂直时，设BC的方程为y＝k(x－2)(k≠0)

与双曲线=1联立消去y得

(3－k)2x2＋4k2x－(4k2＋3)＝0

由题意知3－k2≠0且△＞0

设B(x1,y1),C(x2,y2)，

则

y1y2＝k2(x1－2)(x2－2)＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4]

   ＝k2(-＋4)

   ＝

因为x1、x2≠－1

所以直线AB的方程为y＝ (x＋1)

因此M点的坐标为()

因此

②当直线BC与x轴垂直时，起方程为x＝2，则B(2,3),C(2,－3)

AB的方程为y＝x＋1,因此M点的坐标为，

同理可得  因此＝0

综上＝0，即FM⊥FN    故以线段MN为直径的圆经过点F