Question

如图，四棱锥S-ABCD中，SD底面ABCD，AB//DC，ADDC，

AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC平面SBC .

（Ⅰ）证明：SE=2EB；

（Ⅱ）求二面角A-DE-C的大小 .

Answer

（1）见解析；（2）120°.

【解析】本试题主要考查了立体几何中的面面垂直和二面角的求解运算。

【解析】
（Ⅰ）连接BD，取DC的中点G，连接BG，

由此知DG=GC=BG=1，即△ABC为直角三角形，故BC⊥BD．

又SD⊥平面ABCD，故BC⊥SD，

所以，BC⊥平面BDS，BC⊥DE．

作BK⊥EC，K为垂足，因平面EDC⊥平面SBC，

故BK⊥平面EDC，BK⊥DE，DE与平面SBC内的两条相交直线BK、BC都垂直，

DE⊥平面SBC，DE⊥EC，DE⊥SD．

SB2= SD2+DB2 = 6, DE=SDDB /SB = ,

EB2= DB2-DE2 =  ，SE=SB-EB=所以SE=2EB

(2) 由SA= SD2+AD2 = 5 ，AB=1，SE=2EB，AB⊥SA，知

AE= (1 /3 SA)2+(2 /3 AB)2 =1，又AD=1．

故△ADE为等腰三角形．

取ED中点F，连接AF，则AF⊥DE，AF2= AD2-DF2 =．

连接FG，则FG∥EC，FG⊥DE．

所以，∠AFG是二面角A-DE-C的平面角．

连接AG，AG= 2 ，FG2= DG2-DF2 = ，

cos∠AFG=(AF2+FG2-AG2 )/2⋅AF⋅FG =-1 /2 ，

所以，二面角A-DE-C的大小为120°