Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=900。

求证：PC⊥BC；

求点A到平面PBC的距离。

Answer

(1)见解析（2）.

【解析】本试题主要考查了立体几何中的点线面的位置关系的综合运用。线线垂直的判定和点到面的距离的求解。

（1）证明：因为PD⊥平面ABCD，BC平面ABCD，所以PD⊥BC。

由∠BCD=900，得CD⊥BC，

又PDDC=D，PD、DC平面PCD，

所以BC⊥平面PCD。 因为PC平面PCD，故PC⊥BC。

（2）（方法一）分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则：

易证DE∥CB，DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等。

又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍。

由（1）知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC，

因为PD=DC，PF=FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F。

易知DF=，故点A到平面PBC的距离等于。

（方法二）体积法：连结AC。设点A到平面PBC的距离为h。

因为AB∥DC，∠BCD=900，所以∠ABC=900。

从而AB=2，BC=1，得的面积。

由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱锥P-ABC的体积。

因为PD⊥平面ABCD，DC平面ABCD，所以PD⊥DC。

又PD=DC=1，所以。由PC⊥BC，BC=1，得的面积。

由，，得h=，  故点A到平面PBC的距离等于。