Question

如图，已知直三棱柱中，,是棱上的动点，是的中点，，.

（1）当是棱的中点时，求证：平面；

（2）在棱上是否存在点，使得二面角的大小是？若存在，求出的长，若不存在，请说明理由.

Answer

见解析

【解析】本试题主要是考查了空间立体几何中线面的平行和二面角的求解运算，能合理的建立直角坐标系，是解决第二问的关键所在。

（1）证法1 取中点-----------（1分）因且，

且，故且，         （3分）

因而且因此平面。---------------（2分）

证法2

以为坐标原点，射线为轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

则,,，，，.

设，平面的法向量为，

依，

且，.

可得

取，得------------（4分）

当是棱的中点时，.

则及 得

故平面.---------------------------------------------------（2分）

（2）因平面的法向量为， -------------------------（2分）

又二面角的大小是，故

即 解得.

故在棱上存在点，使得二面角的大小是.此时.（4分）