Question

如图，已知矩形ABCD中，AB=1,BC=，PA平面ABCD，且PA=1。

(1)问BC边上是否存在点Q，使得PQQD?并说明理由；

(2)若边上有且只有一个点Q，使得PQQD,求这时二面角Q的正切。

Answer

(1) (i)当时，BC上存在点Q,使PQQD；

(ii)当时，BC上不存在点Q，使PQQD。

(2)

【解析】(1)(如图)以A为原点建立空间直角坐标系,设，

则Q,P(0,0,1),D得,

由,有,得          ①

若方程①有解,必为正数解，且小于。

由,,得。

(i)当时，BC上存在点Q,使PQQD；

(ii)当时，BC上不存在点Q，使PQQD。

(2)要使BC边上有且只有一个点Q,使PQQD,则方程①有两个相等的实根,

这时,，得,有。

又平面APD的法向量，设平面PQD的法向量为

而，，

由,得，解得

有，则，则。

所以二面角的正切为