Question

设函数 

(1)当时，求函数的最大值；

(2)令，（）其图象上任意一点处切线的斜率≤恒成立，求实数的取值范围；

(3)当，，方程有唯一实数解，求正数的值．

Answer

(1) 的极大值为，此即为最大值

(2) ≥

(3)

【解析】本试题主要是考查了导数求解函数的最值，以及运用导数的几何意义来表示切线斜率，并能解决不等式的恒成立问题。和方程解的函数与方程思想的综合能力。

解: （1）依题意，知的定义域为（0，+∞），

当时，，

……………2分

令=0，解得．（∵）

因为有唯一解，所以，当时，，此时单调递增；

当时，，此时单调递减。

所以的极大值为，此即为最大值 ……………4分

(2），，则有≤，在上恒成立，

所以≥，             

当时，取得最大值，所以≥………8分

(3)因为方程有唯一实数解，

所以有唯一实数解，

设，

则．令，．  

因为，，所以（舍去），，

当时，，在（0，）上单调递减，

当时，，在（，+∞）单调递增

当时，=0，取最小值．

则既……………10分

所以，因为，所以（*）

设函数，因为当时，

是增函数，所以至多有一解．

因为，所以方程（*）的解为，即，解得