Question

 （本题满分12分）如图，是圆的直径，点在圆上，，交于点，平面，，．

（1）证明：；

（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．

Answer

（1）见解析；（2）.

【解析】第一问证明几何中线线垂直，利用线面垂直的性质定理得到。由于平面平面， 平面在底面圆中利用圆的性质得到，从而得到平面．

第二问中，通过作辅助线得到二面角的平面角的大小为为平面与平面所成的二面角的平面角．然后借助于直角三角形求解得到结论。

【解析】
（法一）（1）平面平面， ．……………1分

    又，

平面

而平面

．  ………………………………………3分

是圆的直径，．

又，

．

平面，，

平面．

与都是等腰直角三角形．

．

，即（也可由勾股定理证得）．………………5分

，     平面．

而平面，

．  ………………………………………………………………6分

（2）延长交于，连，过作，连结．

由（1）知平面，平面，

．

而，平面．

平面，

，

为平面与平面所成的

二面角的平面角．     ……………………8分

在中，，，

．

由，得．

．

又，

，则．    …………………11分

是等腰直角三角形，．

平面与平面所成的锐二面角的余弦值为． …………………12分

（法二）（1）同法一，得．          ……………………3分

如图，以为坐标原点，垂直于．．所在的直线为轴建立空间直角坐标系．

由已知条件得，

． ………4分

由，

得， ．   ……………6分

（2）由（1）知．

设平面的法向量为，

由 得，

令得，，             ………………9分

由已知平面，所以取面的法向量为，

设平面与平面所成的锐二面角为，

则， …………………………11分

平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．  ……………………12分