Question

（本小题满分12分）

已知椭圆C:的离心率为，A,B分别为椭圆的长轴和短轴的端点，M为AB的中点，O为坐标原点，且.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过的直线与椭圆交于P、Q两点，求POQ的面积的最大时直线的方程。

Answer

（1）；（2）当直线的方程为时，面积最大.

【解析】离心率为，列式，，M为AB的中点，O为坐标原点，且.三式求解；（Ⅱ）过的直线与椭圆交于P、Q两点，求POQ的面积的最大，考查的是弦长公式，点到直线的距离，列出关于POQ的面积公式，均值定理求解。

【解析】
（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，则，解得，所以椭圆的方程为.                                             ----------4分                                                                 

（Ⅱ）方法一：设交点，，

当直线的斜率不存在时，直线的方程为，

则易得.                                                  --------------6分

当直线的斜率存在时，设其方程为（），联立椭圆方程，得，两个根为 

恒成立，，                ---------7分

则，

又原点到直线的距离=，                            --------------8分

所以

                                           --------------11分

所以，当直线的方程为时，面积最大.              --------------12分

方法二：设交点，，

当直线的斜率不存在时，直线的方程为，

则易得.                                                    ----------6分

当直线的斜率存在时，设其方程为（），联立椭圆方程，得

，两个根为，

恒成立，，                  -----------7分

                      ---------------8分

        =

                                             ---------11分

所以，当直线的方程为时，面积最大.                 -----------12分