Question

（本小题满分10分）

已知数列的前项和为，，且（为正整数）.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）记.若对任意正整数，恒成立，求实数的最大值.

Answer

（1）；（2）实数的最大值为.

【解析】

（1）考查数列中；

（2）极限思想，，恒成立，即是，分离参数，在最值处成立即可。

【解析】
（Ⅰ），               ①

      当时，.            ②

    由 ① - ②，得.

    .                                             …… 3分

    又 ，，解得 .                          …… 4分

     数列是首项为1，公比为的等比数列.

    （为正整数）.                             …… 5分

   （Ⅱ）由（1）知，，                             …… 8分

    .                           …… 10分

    由题意可知，对于任意的正整数，恒有，解得 .

     数列单调递增， 当时，数列中的最小项为，

     必有，即实数的最大值为.                              …… 10分