Question

已知是的图象上任意两点，设点，且，若，其中，且．

（1）求的值； 

（2）求；

（3）数列中，当时，，设数列的前项和为，求的取值范围使对一切都成立．

Answer

（1）由 ，得点是的中点，

则， 故，，

所以

（2）由（1）知当时，． 

又，∴，

∴ 

（，且）．

（3），

故当时

，故由得，

即，只要，，

故当时，；当是，，由得，而．

故当时可以对一切不等式都成立．

【解析】(1) ，得点是的中点，

则， 故，.这是解本小题的关键.

(2) 由（1）知当时，． 

又，下面采用倒序相加的方法求和即可.

(3)

所以采用裂项求和的方法求解即可.

【点评】数列是以正整数为自变量的函数，从函数入手设计数列试题是自然的．本题从函数图象的对称性出发构造了一个函数值的数列，再从这些已经解决的问题入手构造了一个裂项求和问题和一个不等式恒成立问题，试题设计逐步深入．解答数列求和时要注意起首项是不是可以融入整体，实际上本题得到的对也成立