Question

(本题满分14分)已知函数.

(1)求函数的单调区间;

(2)若恒成立,求实数k的取值范围;

（文科(3)证明:  .

（理科(3)证明: .

Answer

(1)当时,函数的递增区间为,………2分

当时，函数的递增区间为,减区间为 

(2) (3)见解析

【解析】(1)的定义域为,,………1分

当时,函数的递增区间为,………2分

当时，函数的递增区间为,减区间为.………4分

(2)由得,………5分

令,则………6分

当时,函数递增；当时,函数递减。………8分

，………10分

(3)由(1)可知若，当时有,………11分

即有，即,即有 (x>1), ………12

（文）令，则,,………14

(理)令，则,,………13分

= (n>1)

思路分析：（1）先求出函数的定义域，求函数的导数，讨论分别求出函数的单调区间;

（2）分离参数求出函数的最大值即可；

（3）由（1）得时，，所以时有,即有，可得，令，则，

左右分别相加可证出文科的结论；理科令，求和再放缩可得结论。