某港口海水的深度
（米）是时间
（时）（
）的函数，记为：
已知某日海水深度的数据如下：
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0 |
3 |
6 |
9 |
12 |
15 |
18 |
21 |
24 |
|
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10.0 |
13.0 |
9.9 |
7.0 |
10.0 |
13.0 |
10.1 |
7.0 |
10.0 |
经长期观察，的曲线可近似地看成函数
的图象
（I）试根据以上数据，求出函数
的振幅、最小正周期和表达式；
（II）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为
米或米以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可）。某船吃水深度（船底离水面的距离）为
米，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需时间）
【解析】第一问中利用三角函数的最小正周期为：
T=12 振幅：A=3，b=10，
第二问中，该船安全进出港，需满足：
即：
∴
又 ，可解得结论为
或
得到。
设向量
.
（Ⅰ）求
；
（Ⅱ）若函数
，求
的最小值、最大值.
【解析】第一问中，利用向量的坐标表示，表示出数量积公式可得
第二问中，因为，即
换元法
令
得到最值。
【解析】
（I）
（II）由（I）得：
令
.
时，
如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、
PC的中点．
（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）求证：EF⊥CD；
（3）若ÐPDA＝45°求EF与平面ABCD所成的角的大小．
【解析】本试题主要考查了线面平行和线线垂直的运用，以及线面角的求解的综合运用
第一问中，利用连AC，设AC中点为O，连OF、OE在△PAC中，∵ F、O分别为PC、AC的中点 ∴ FO∥PA …………①在△ABC中，∵ E、O分别为AB、AC的中点 ∴ EO∥BC ,又 ∵ BC∥AD ∴ EO∥AD …………②综合①、②可知：平面EFO∥平面PAD∵ EF Ì 平面EFO ∴ EF∥平面PAD．
第二问中在矩形ABCD中，∵ EO∥BC，BC⊥CD ∴ EO⊥CD 又 ∵ FO∥PA，PA⊥平面AC ∴ FO⊥平面AC∴ EO为EF在平面AC内的射影 ∴ CD⊥EF．
第三问中，若ÐPDA＝45°，则 PA＝AD＝BC ∵
EO
BC，FO
PA
∴ FO＝EO 又∵ FO⊥平面AC∴ △FOE是直角三角形 ∴ ÐFEO＝45°
证：连AC，设AC中点为O，连OF、OE（1）在△PAC中，∵ F、O分别为PC、AC的中点∴ FO∥PA …………① 在△ABC中，∵ E、O分别为AB、AC的中点 ∴ EO∥BC ,又 ∵ BC∥AD ∴ EO∥AD …………②综合①、②可知：平面EFO∥平面PAD
∵ EF Ì 平面EFO ∴ EF∥平面PAD．
（2）在矩形ABCD中，∵ EO∥BC，BC⊥CD∴ EO⊥CD 又 ∵ FO∥PA，PA⊥平面AC ∴ FO⊥平面AC ∴ EO为EF在平面AC内的射影 ∴ CD⊥EF．
（3）若ÐPDA＝45°，则 PA＝AD＝BC ∵ EOBC，FOPA
∴ FO＝EO 又 ∵ FO⊥平面AC ∴ △FOE是直角三角形 ∴ ÐFEO＝45°
设
是直角坐标系中，x轴、y轴正方向上的单位向量，设
(1)若(
,求
.
(2)若
时，求
的夹角
的余弦值.
(3)是否存在实数，使
，若存在求出的值，不存在说明理由.
【解析】第一问中，利用向量的数量积为0，解得为m=-2
第二问中，利用时，结合向量的夹角的余弦值公式解得
第三问中，利用向量共线，求解得到m不存在。
（1）因为设是直角坐标系中，x轴、y轴正方向上的单位向量，设
（2）因為
即
；
（3）假設存在实数，使，則有
因此不存在；
已知
，求下列各式的值：
（1）
（2）
【解析】本试题主要考查了同角三角函数关系式的运用。第一问中利用将分子分母同时除以
得，原式=
第二问中，构造分式表达式，原式=
=
=
如图1，一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有
升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点
。如果将容器倒置，水面也恰好过点（图2）。有下列四个命题：
①正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半；
②将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点；
③任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点；
④若往容器内再注入升水，则容器恰好能装满.
其中真命题的代号是： （写出所有正确命题的代号）．
