已知正数数列{an }中,a1 =2.若关于x的方程 ()对任意自然数n都有相等的实根.
(1)求a2 ,a3的值;
(2)求证
【解析】(1)中由题意得△,即,进而可得,.
(2)中由于,所以,因为,所以数列是以为首项,公比为2的等比数列,知数列是以为首项,公比为的等比数列,利用裂项求和得到不等式的证明。
(1)由题意得△,即,进而可得
(2)由于,所以,因为,所以数列是以为首项,公比为2的等比数列,知数列是以为首项,公比为的等比数列,于是
,
所以
某市旅游部门开发一种旅游纪念品,每件产品的成本是元,销售价是元,月平均销售件.通过改进工艺,产品的成本不变,质量和技术含金量提高,市场分析的结果表明,如果产品的销售价提高的百分率为,那么月平均销售量减少的百分率为.记改进工艺后,旅游部门销售该纪念品的月平均利润是(元).
(1)写出与的函数关系式;
(2)改进工艺后,确定该纪念品的售价,使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.
【解析】第一问先得到改进工艺后,每件产品的销售价为20(1+x),月平均销售量为件,则月平均利润(元),
∴y与x的函数关系式为
第二问中,求导数,
由得
当时;时
得到最值。
解:(Ⅰ)改进工艺后,每件产品的销售价为20(1+x),月平均销售量为件,则月平均利润(元),
∴y与x的函数关系式为
.
(Ⅱ)由得
当时;时,
∴函数
在取得最大值.
故改进工艺后,产品的销售价为20(1+1/2)=30元时,旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.
某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此作了四次试验如下:
零件的个数(个) |
2 |
3 |
4 |
5 |
加工的时间(小时) |
2.5 |
3 |
4 |
4.5 |
(1)在给定坐标系中画出表中数据的散点图;
(2)求关于的线性回归方程;
(3)试预测加工10个零件需要多少时间?
(,)
【解析】第一问中,利用表格中的数据先作出散点图
第二问中,求解均值a,b的值,从而得到线性回归方程。
第三问,利用回归方程将x=10代入方程中,得到y的预测值。
【解析】
(1)散点图(略) (2分)
(2) (4分)
∴ (7分)
(8分)∴回归直线方程: (9分)
(3)当∴预测加工10个零件需要8.05小时。
已知均为实数,且,
求证:中至少有一个大于。
【解析】利用反证法的思想进行证明即可。首先否定结论假设a,b,c都不大于0然后在假设的前提下,即,得,而,即,与矛盾从而得到矛盾,假设不成立。
有以下三个不等式:
;
;
.
请你观察这三个不等式,猜想出一个一般性的结论,并证明你的结论。
【解析】根据已知条件可知归纳猜想结论为
下面给出运用综合法的思想求解和证明。【解析】
结论为:. …………………5分
证明:
所以
已知点与点在直线的两侧,则下列说法: ① ; ② 时,有最小值,无最大值;
③ 恒成立;
④ 当,, 则的取值范围为(-;
其中正确的命题是 (填上正确命题的序号).