如图，
是△
的重心，
、
分别是边
、
上的动点，且、、三点共线．
（1）设
，将
用
、
、
表示；
（2）设
，
，证明：
是定值；
（3）记△与△
的面积分别为
、
．求
的取值范围．
（提示：
【解析】第一问中利用（1）
第二问中，由（1），得
；①
另一方面，∵是△的重心，
∴
而
、
不共线，∴由①、②，得
第三问中，
由点、的定义知
，
，
且
时，
；
时，
．此时，均有
．
时，
．此时，均有
．
以下证明：
，结合作差法得到。
【解析】
（1）
．
（2）一方面，由（1），得
；①
另一方面，∵是△的重心，
∴． ②
而、不共线，∴由①、②，得
解之，得
，∴
（定值）．
（3）
．
由点、的定义知，，
且时，；时，．此时，均有．
时，．此时，均有．
以下证明：．（法一）由（2）知
，
∵
，∴
．
∵
，∴
．
∴的取值范围
如图，某小区准备绿化一块直径为
的半圆形空地，
外的地方种草，的内接正方形
为一水池,其余地方种花.若
,设的面积为
，正方形的面积为
，将比值
称为“规划合理度”.
（1）试用
,
表示和.
（2）当为定值，变化时,求“规划合理度”取得最小值时的角的大小.
【解析】第一问中利用在
ＡＢＣ中 
，
＝
设正方形的边长为
则 
然后解得
第二问中，利用
而
＝
借助于 
为减函数
得到结论。
（1）、 如图，在ＡＢＣ中 ，
＝
设正方形的边长为 则
＝
（2）、 而＝
∵0 < <
,又0 <２ <
,
０<t£１ 为减函数
当
时 
取得最小值为
此时
如图所示，圆柱的高为2，底面半径为
,AE、DF是圆柱的两条母线，过
作圆柱的截面交下底面于
.
（1）求证：
；
（2）若四边形ABCD是正方形，求证
；
（3）在（2）的条件下，求二面角A-BC-E的平面角的一个三角函数值。
【解析】第一问中，利用由圆柱的性质知：AD平行平面ＢＣＦＥ
又过作圆柱的截面交下底面于.
∥
又AE、DF是圆柱的两条母线
∥ＤＦ，且ＡＥ＝ＤＦ 
ＡＤ∥ＥＦ
第二问中，由线面垂直得到线线垂直。四边形ABCD是正方形
又
BC、AE是平面ABE内两条相交直线
第三问中，设正方形ABCD的边长为x,则在
在
由（2）可知：
为二面角A-BC-E的平面角，所以
证明：（1）由圆柱的性质知：AD平行平面ＢＣＦＥ
又过作圆柱的截面交下底面于.∥
又AE、DF是圆柱的两条母线
∥ＤＦ，且ＡＥ＝ＤＦ ＡＤ∥ＥＦ
(2)
四边形ABCD是正方形 又
BC、AE是平面ABE内两条相交直线
(3)设正方形ABCD的边长为x,则在
在
由（2）可知：为二面角A-BC-E的平面角，所以
如图，已知点
和单位圆上半部分上的动点B．
（1）若
，求向量
；
（2）求
的最大值．
【解析】对于这样的向量的坐标和模最值的求解，利用建立直角坐标系的方法可知。
第一问中，依题意，
，
，
因为，所以
，即
，
解得
，所以
第二问中，
结合三角函数的性质得到最值。
（1）依题意，，（不含1个或2个端点也对）
， （写出1个即可）
因为，所以，即，
解得，所以.-
（2）
，
当
时，取得最大值，
已知函数
。
（1）求函数的最小正周期和最大值；
（2）求函数的增区间；
（3）函数的图象可以由函数
的图象经过怎样的变换得到？
【解析】本试题考查了三角函数的图像与性质的运用。第一问中，利用可知函数的周期为
，最大值为
。
第二问中，函数
的单调区间与函数
的单调区间相同。故当
，解得x的范围即为所求的区间。
第三问中，利用图像将的图象先向右平移
个单位长度，再把横坐标缩短为原来的
（纵坐标不变），然后把纵坐标伸长为原来的
倍（横坐标不变），再向上平移1个单位即可。
【解析】
（1）函数
的最小正周期为，最大值为。
（2）函数的单调区间与函数的单调区间相同。
即
所求的增区间为
，
即
所求的减区间为
，
。
（3）将的图象先向右平移个单位长度，再把横坐标缩短为原来的 （纵坐标不变），然后把纵坐标伸长为原来的倍（横坐标不变），再向上平移1个单位即可。
已知向量
=(
)，
=(
)．
（1）当
时，求
的值。
（2）已知=
，
求
的值。
【解析】本试题主要考查了向量的数量积的运算，以及构造角求解三角函数值的运用。
第一问中，利用
第二问中，结合第一问中
=
然后
，构造角
得到结论。
解、（1）
（2）
因为：
=
所以：
因为：
=
