Question

（12分）

已知x=1是函数f(x)=mx³-3(m+1)x²+nx+1的一个极值点，其中m,n∈R.

（1）求m与n的关系式；

（2）求f(x)的单调区间；

（3）当x∈[-1,1]时，m<0，函数y=f(x)的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围.

Answer

（1）

（2）当时，在单调递减，在单调递增，在上单调递减.

当m>0时，f(x)在(1+)及(-，1)上单调递增；在(1，1+)上单调递减 .

（3）的取值范围为

【解析】近几年新课标高考对于函数与导数这一综合问题的命制，一般以有理函数与半超越（指数、对数）函数的组合复合且含有参量的函数为背景载体，解题时要注意对数式对函数定义域的隐蔽，这类问题重点考查函数单调性、导数运算、不等式方程的求解等基本知识，注重数学思想（分类与整合、数与形的结合）方法（分析法、综合法、反证法）的运用.把数学运算的“力量”与数学思维的“技巧”完美结合

【解析】
(I)因为是函数的一个极值点,所以,即，所以

（II）当m=0时，上为增函数，在(6，+)上为减函数

当m≠0时，=

当时，有，当变化时，与的变化如下表：

1

0

0

调调递减

极小值

单调递增

极大值

单调递减

故由上表知，当时，在单调递减，在单调递增，在上单调递减.

当m>0时，f(x)在(1+)及(-，1)上单调递增；在(1，1+)上单调递减 .

（III）由已知得，即

又所以即①

设，其函数开口向上，由题意知①式恒成立，

所以解之得又所以

即的取值范围为