Question

设数列的前项和为，，数列的通项公式为．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，数列的前项和为，

①求；

②若，求数列的最小项的值．

Answer

（1）an＝＝2n．

（2） 当x≠1时， Tn＝．当x＝1时，Tn＝n2＋n．

（3）．

【解析】（1）由与的关系得，又，

；（2）由（1）得，讨论分别用公式法和错误相减法求和；

时，＝ ，构造函数研究单调性得最小值

（1）an＝＝2n．…………………4分

  （若没有交待a1扣1分）

（2）cn＝．

Tn＝2＋4x＋6x2＋8x3＋……＋ ．      ①

则xTn＝2x＋4x2＋6x3＋8x3＋……＋ ．   ②

①－②，得(1－x)Tn＝2＋2x＋2x2＋……＋－．

当x≠1时，(1－x)Tn＝2×－．所以Tn＝．…8分

当x＝1时，Tn＝2＋4＋6＋8＋……＋2n＝n2＋n．…………………10分

（3）当x＝2时，Tn＝2＋．

则＝． ……………………11分

设f(n)＝．

因为f(n＋1)－f(n)＝－＝＞0， …………14分

所以函数f(n)在n∈N＋上是单调增函数．   …………………15分

所以n＝1时，f(n)取最小值，即数列{}的最小项的值为