Question

（本题满分16分）

已知数列{a_n}满足S_n＋a_n＝2n＋1, 

(1) 写出a₁, a₂, a₃,并推测a_n的表达式；

(2) 用数学归纳法证明所得的结论。

Answer

(1) a1＝, a2＝, a3＝, 猜测 an＝2－   (2)见解析

【解析】【解析】
(1) a1＝, a2＝, a3＝, 猜测 an＝2－ ……5分

  (2) ①由（1）已得当n＝1时，命题成立；……8分

②假设n＝k时,命题成立，即 ak＝2－, ……10分

当n＝k＋1时, a1＋a2＋……＋ak＋ak＋1＋ak＋1＝2(k＋1)＋1,且a1＋a2＋……＋ak＝2k＋1－ak

∴2k＋1－ak＋2ak＋1＝2(k＋1)＋1＝2k＋3,

∴2ak＋1＝2＋2－,  ak＋1＝2－,  即当n＝k＋1时,命题成立. ……15分

根据①②得n∈N+  , an＝2－都成立  ……16分

思路分析：第一问利用Sn＋an＝2n＋1，递推得到a1＝, a2＝, a3＝, 猜测 an＝2－

第二问中，1）已得当n＝1时，命题成立；

②假设n＝k时,命题成立，即 ak＝2－,当n＝k＋1时, a1＋a2＋……＋ak＋ak＋1＋ak＋1＝2(k＋1)＋1,且a1＋a2＋……＋ak＝2k＋1－ak

∴2k＋1－ak＋2ak＋1＝2(k＋1)＋1＝2k＋3,

∴2ak＋1＝2＋2－,  ak＋1＝2－

综上可知成立。