Question

（本题满分16分）

已知．

（1）求函数的图像在处的切线方程；

（2）设实数，求函数在上的最大值.

（3）证明对一切，都有成立．

Answer

（1），即

（2）当时，

当时，，

（3）见解析

【解析】【解析】

（1）定义域为      

             又

函数的在处的切线方程为：

，即        ……  4分

（2）令得

当，，单调递减，

当，，单调递增． ……6分

在上的最大值

当时，

当时，，  ……10分

(3)问题等价于证明，   ……12分

由(2)可知的最小值是，当且仅当时取得.

设，则，易得，

当且仅当时取到，从而对一切，都有成立．  ……16分

思路分析：第一问利用定义域为        

又   函数的在处的切线方程为：

，即

第二问中，令得

当，，单调递减，

当，，单调递增

第三问中，问题等价于证明，   ……12分

由(2)可知的最小值是，当且仅当时取得.

设，则，易得