Question

（本小题满分16分）

如图，椭圆的右焦点为，右准线为，

（1）求到点和直线的距离相等的点的轨迹方程。

（2）过点作直线交椭圆于点，又直线交于点,若，

求线段的长；

（3）已知点的坐标为，直线交直线于点，且和椭圆的一个交点为点，是否存在实数，使得，若存在，求出实数；若不存在，请说明理由。

Answer

（1）. 

（2）|． 

（3）假设存在实数满足题意．

由已知得 ①

 ②

椭圆C：   ③

由①②解得，．

由①③解得，．            

∴，

．

故可得满足题意．                                

【解析】第一问，由椭圆方程为

可得，，，

 ，．     

设，则由题意可知，

化简得点G的轨迹方程为

第二问中，由题意可知，故将代入，

可得，从而

第三问中，假设存在实数满足题意．由已知得 ① ②

椭圆C：由①②解得，．

由①③解得，

结合向量的数量积得到结论。

【解析】
（1）由椭圆方程为

可得，，，

 ，．     

设，则由题意可知，

化简得点G的轨迹方程为.  …………4分

（2）由题意可知，

故将代入，

可得，从而．   ……………8分

（3）假设存在实数满足题意．

由已知得 ①

 ②

椭圆C：   ③

由①②解得，．

由①③解得，．              ………………………12分

∴，

．

故可得满足题意．                                  ………………………16分