Question

（本题满分16分）已知函数．

（1）若关于的方程只有一个实数解，求实数的取值范围；

（2）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围。

Answer

（1）.（2）. 

【解析】第一问中，方程，即，变形得，

显然，已是该方程的根，从而欲原方程只有一解，即要求方程，

有且仅有一个等于1的解或无解，

结合图形得.

第二问，不等式对恒成立，即（*）对恒成立，

①当时，（*）显然成立，此时；       

②当时，（*）可变形为

令

因为当时，，当时，，

所以，故此时

【答案】【解析】
（1）方程，即，变形得，

显然，已是该方程的根，从而欲原方程只有一解，即要求方程，

有且仅有一个等于1的解或无解，

结合图形得.                                   ……………………6分

（2）不等式对恒成立，即（*）对恒成立，

①当时，（*）显然成立，此时；          ……………………8分

②当时，（*）可变形为，………………………10分

令 …………………………12

因为当时，，当时，，

所以，故此时. …………………15分

综合①②，得所求实数的取值范围是.  …………………………………16分