Question

某班级共派出个男生和个女生参加学校运动会的入场仪式，其中男生甲为领队.入场时，领队男生甲必须排第一个，然后女生整体在男生的前面，排成一路纵队入场，共有种排法；入场后，又需从男生（含男生甲）和女生中各选一名代表到主席台服务，共有种选法.

（1）试求和； 

（2）判断和的大小（），并用数学归纳法证明.

Answer

（1）， 

（2） 

【解析】（1）根据排列和组合知识求出和；（2）先根据前几个特殊项猜想出结果，然后利用数学归纳法的步骤去证明，本题在证明n=k+1时，用到了分析法

【解析】
(1)，.

(2)因为，所以，，，由此猜想：当时，都有，即.

下面用数学归纳法证明（）.

1)         当时，该不等式显然成立.

2)         假设当时，不等式成立，即，则当时，，要证当时不等式成立.只要证：，只要证：.

令，因为，所以在上单调递减，

从而，而，所以成立.

则当时，不等式也成立.

综合1)、2）得原不等式对任意的均成立.