Question

(本小题满分16分)

在数列中，，（≥2，且）,数列的前项和．

（1）证明：数列是等比数列，并求的通项公式；

（2）求；

（3）设，求的最大值．

Answer

（1）见解析；（2）；（3）的最大值为.

【解析】第一问由题意，（≥2，且），

则，          

又，

∴数列是首项为，公比为的等比数列

第二问∵{}的通项公式（），

∴当时偶数时，

，

当是奇数时，

若，则

若 则

第三问（3），  ，

令，得，由于，，

的最大值为

（1）证明：由题意，（≥2，且），

则，                  ……………2分

又，

∴数列是首项为，公比为的等比数列，          ……………4分  

∴，

∴{}的通项公式为（）；        ……………6分      

（2）∵{}的通项公式（），

∴当时偶数时，

，      ……………8分

当是奇数时，

若，则

若 则，………10分

综上： ；                       ……………11分 

（3），                     ……………12分

，

令，得，由于，，          ……………14分   

的最大值为                               ……………16分