Question

本题满分14分）

四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，，AD∥BC, AB=BC=2, AD=4,

PA⊥底面ABCD，PD与底面ABCD成角，E是PD的中点.

（1）     点H在AC上且EH⊥AC，求的坐标；

（2）     求AE与平面PCD所成角的余弦值；

Answer

（1）；（2）

【解析】第一问以AB,AD,AP分别为x,y,z轴，建立如图所示的坐标系。

则由条件知， 

而：PA⊥底面ABCD，PD与底面ABCD成角

∴, ∴∴

设， ∴ 

由EH⊥AC得，，解得

第二问由上得，  而，

∴,  

记平面PCD的一个法向量为，则且

解得    取

则

解(1) 以AB,AD,AP分别为x,y,z轴，建立如图所示的坐标系。

则由条件知，  ---------------2分

而：PA⊥底面ABCD，PD与底面ABCD成角

∴, ∴           --------------4分

∴

设， ∴ 

由EH⊥AC得，，解得   --------------6分

∴所求 --------------7分

（2）由上得，  而，

∴,              --------------9分

记平面PCD的一个法向量为，则且

解得    取              --------------11分

则，            --------------13分

设AE与平面PCD所成角为，则，则所求的余弦值为--------------14分