（本题满分16分）已知函数在点处的切线方程为． ⑴求函数的解析式； ⑵若对于区间...

（本题满分16分）已知函数在点处的切线方程为．

⑴求函数的解析式；

⑵若对于区间上任意两个自变量的值都有，求实数的最小值；

⑶若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围．

⑴． ⑵的最小值为4．⑶．【解析】(1)求导，根据建立关于a,b的方程，求解即可。 (2) 本题实质是对于区间上任意两个自变量的值，都有 ,然后利用导数求f(x)的最值即可。 (3) 因为点不在曲线上，所以可设切点为．则．因为，所以切线的斜率为．则=，即．从而转化为方程有三个不同的实数解，构造函数,证明它有三个不同的零点即可。【解析】 ⑴．…………………………………………………………1分根据题意，得即解得……………………3分所以．………………………………………………………………4分 ⑵令，即．得． 1 2 + + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 2 因为，，所以当时，，．………………………………6分则对于区间上任意两个自变量的值，都有，所以．所以的最小值为4．……………………………………………………………………8分 ⑶因为点不在曲线上，所以可设切点为．则．因为，所以切线的斜率为．………………………………9分则=，………………………………………………………………11分即．因为过点可作曲线的三条切线，所以方程有三个不同的实数解．所以函数有三个不同的零点．则．令，则或． 0 2 + + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 则，即，解得．…………………………………16分（注：此题其它解法正确也给分）

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