Question

 已知各项均为正数的数列{}满足（），且是，的等差中项． 

 （Ⅰ）求数列{}的通项公式；

   （Ⅱ）令=，是否存在正整数，使 时，不等式恒成立，若存在，求的值；不存在，说明理由．

Answer

（Ⅰ）．   （Ⅱ）．

【解析】（1）由，得。。数列{}是以2为公比的等比数列．根据题意可求得，（2）由（Ⅰ）及=得，。利用错位相减法求出。要使成立，只需成立，即，，取 。

（Ⅰ）∵，

∴,．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分

∵数列{}的各项均为正数，∴，

∴，

即（），所以数列{}是以2为公比的等比数列．…………3分

∵是的等差中项，

∴，∴，∴，

∴数列{}的通项公式．……………………………………………………6分

   （Ⅱ）由（Ⅰ）及=得，， ……………………………8分

∵，

∴      1

∴   ②

②-1得，

=……………………………10分

要使成立，只需成立，即，，

使成立，取． …………13分