Question

已知椭圆的长轴长为4，离心率为，分别为其左右焦点．一动圆过点，且与直线相切．

（Ⅰ）（ⅰ）求椭圆的方程； （ⅱ）求动圆圆心的轨迹方程；

（Ⅱ） 在曲线上有两点，椭圆上有两点，满足与共线，

与共线，且，求四边形面积的最小值．

Answer

（i）,（ⅱ）. （Ⅱ）四边形PMQN面积的最小值为8. 

【解析】第一问中，

、

第二问中，由已知可得动圆圆心轨迹为抛物线，且抛物线的焦点为(1,0)，准线方程为，则动圆圆心轨迹方程为.当直线的斜率不存在时，=4,  此时的长即为椭圆长轴长,=4,

   从而

当直线的斜率存在时，设斜率为，则，直线的方程为

直线的方程为， 设，,,

     由，消去y可得

      由抛物线定义可知：

【解析】
由已知可得

（ⅱ）由已知可得动圆圆心轨迹为抛物线，且抛物线的焦点为(1,0)，准线方程x=-1，则动圆圆心轨迹方程为.                 ------------6分

（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，=4,  此时的长即为椭圆长轴长,=4,

   从而  …………… 7分

  当直线的斜率存在时，设斜率为，则，直线的方程为

直线的方程为， 设，,,

     由，消去y可得

      由抛物线定义可知：

   ……………9分

   由消去y得，

    令，∵k>0则t>1  ,则

    因为  ,  所以       

所以四边形PMQN面积的最小值为8       ……………12分