Question

已知函数的导函数为f(x),若a+b+c=0,

f(0)f(1)>0,设是方程f(x)=0的两个根,则的取值范围为(     )

A.              B. 

C.      D.

Answer

B

【解析】【解析】
由题意得：f’（x）=3ax2+2bx+c，

∵x1，x2是方程f（x）=0的两个根，

∴x1+x2=-2b /3a ，x1•x2=c/ 3a ，

∴|x1-x2|2=x12+x22-2x1x2

=(x1+x2)2-4x1x2

=4b2 /9a2 -4c /3a=4b2-12ac/ 9a2 ，

∵a+b+c=0，∴c=-a-b，

∴|x1-x2|2=4b2+12a(a+b) 9a2 =12a2+12ab+4b2 /9a2 =4 /9 (b /a )2+4 /3 (b /a )+4 /3 ．

∵f（0）•f（1）＞0，f（0）=c=-（a+b），f（1）=3a+2b+c=2a+b，

∴（a+b）（2a+b）＜0，

即2a2+3ab+b2＜0，

∵a≠0，两边同除以a2得：(b /a )2+3(b /a )+2＜0，

所以-2＜b/ a ＜-1，故|x1-x2|∈[ /3 ，2 /3 )．

故选B．